上一回我們說到了變化莫測的MIMO信道，并且留下了一個美好的假設(shè)：“如果在發(fā)送數(shù)據(jù)之前，我們能夠提前獲得信道信息，是不是能對發(fā)送策略有指導(dǎo)作用，并且有效的幫助我們提升通信系統(tǒng)的性能呢？”本回內(nèi)容，我們就來回答這些問題。

    還記得上回開篇在介紹“相關(guān)性”時舉得例子么？這里簡單的回顧一下：假設(shè)有一車貨物要從A地運(yùn)到B地，有3條路可以選擇，分別經(jīng)過城市X，Y，Z。在出發(fā)前我們聽到天氣預(yù)報說X市會有大雨，于是我們選擇繞道走Z市，從而避開了受天氣影響的X市和Y市。這里，正是因為我們聽到了天氣預(yù)報，才能選出最佳的出行路線，所以“天氣預(yù)報信息”為我們的出行提供了非常有效的幫助。在無線通信系統(tǒng)中，“信道狀態(tài)信息（ChannelCondition Information，CSI）”就相當(dāng)于這個例子中的“天氣信息”，那么如果我們能夠在發(fā)送端掌握到及時、準(zhǔn)確的“信道狀態(tài)信息”，是不是就能“避開”那些信道條件不好的傳播路徑，從而提升通信系統(tǒng)的性能？

    答案當(dāng)然是肯定的。不過，發(fā)送端獲得“信道狀態(tài)信息”后，究竟能為MIMO通信系統(tǒng)帶來多少好處，我們還是得從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行分析，誰讓數(shù)學(xué)是通信的基礎(chǔ)呢。首先我們可以想象一下，我們心目中最佳的信道矩陣，或者叫傳輸矩陣，應(yīng)該具有什么樣的結(jié)構(gòu)？拿2x2MIMO 系統(tǒng)舉例來說，它的傳輸矩陣具有以下形式（忽略噪聲的影響）：
 
    我們可以很快看出，最佳的傳輸矩陣H，應(yīng)該具有的形式是：

    當(dāng)傳輸矩陣擁有這種“對角陣”的形式時，X1和X2和它進(jìn)行矩陣相乘后，得到的仍然是X1和X2，就好像X1和X2各自通過了一條“透明”的子信道到達(dá)接收端，兩者之間也沒有任何干擾。

      然而“理想很豐滿，現(xiàn)實很骨感”，要是現(xiàn)實中的通信系統(tǒng)都能擁有如此完美的傳輸過程，恐怕一大半的MIMO研究人員都可以下崗了。我們知道，現(xiàn)實中的傳輸矩陣，里面的各個元素都是按一定的概率統(tǒng)計規(guī)律隨機(jī)變化的，根本找不到半點“對角陣”的影子。但是“對角陣”的形式實在是太好了，即使眼下無法直接獲得，我們依然希望能夠有一種方法能夠?qū)F(xiàn)實的傳輸矩陣“轉(zhuǎn)化”成對角陣的形式--SVD分解（矩陣的奇異值分解，SingularValue Decomposition）就提供了完美的解決辦法。
 
      通過對傳輸矩陣H進(jìn)行SVD分解，我們可以得到三個矩陣：左酉陣U，對角矩陣S（對角陣S中的元素s1，s2就是H矩陣的奇異值）和右酉陣V。現(xiàn)在，我們期望的對角陣S已經(jīng)出現(xiàn)了，但它的左右兩邊又多出了兩個酉陣U和V，怎么辦？沒關(guān)系，“酉陣”同學(xué)有一個很好的性質(zhì)，它只要與自己的共軛轉(zhuǎn)置相乘，就可以把自己化簡掉（其實是得到了一個單位陣（）。
    如果我們在信號經(jīng)過信道之前，首先對信號進(jìn)行“預(yù)處理”，給它們乘以V的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，再讓它們經(jīng)過信道，右酉陣V就被化簡掉了，相當(dāng)于發(fā)送信號直接與對角陣S相乘！接收端的處理類似，我們對接收信號矩陣左乘酉陣U的共軛轉(zhuǎn)置，就可以消掉它。這時我們驚喜的發(fā)現(xiàn)，擁有“對角陣”形式的傳輸方程又回來了，這正是我們期待的效果！


    慢著慢著，我們來回顧一下剛才是如何重新獲得“對角陣”形式的傳輸矩陣的？沒錯，正是因為在信號發(fā)送之前，給它們乘以了右酉陣V的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。所以，我們可以提煉出發(fā)送端擁有信道矩陣的第一個好處：如果發(fā)送端擁有了H的信息，就可以對它進(jìn)行SVD分解，從而得到右酉陣V，利用它，可以將傳輸過程轉(zhuǎn)化成我們期望的“對角陣”形式。

    閑話1：
    在現(xiàn)實的MIMO通信系統(tǒng)中，運(yùn)用信道信息對發(fā)送信號進(jìn)行“預(yù)處理”的發(fā)送方式也非常重要。比如LTE協(xié)議中的“線性預(yù)編碼技術(shù)（LinerPrecoding）”或者802.11n中也有的“波束成形技術(shù)（Beamforming）”，其背后的原理和思想，都與我們上述的分析一致，只不過有多種實現(xiàn)方法，這也與信道信息的獲取方式有很大關(guān)系，一會兒我們再介紹。

    好了，信道信息除了可以用來對發(fā)送信號進(jìn)行“預(yù)處理”，指導(dǎo)發(fā)送策略以外，從中還能獲得什么對我們有用的信息呢？這次，我們要從 “對角陣S”身上尋找答案。
    對不同的信道矩陣H進(jìn)行SVD分解，可以得到不同的“對角陣S”，這聽上去是一句廢話；但是，這些不同的“對角陣S”，卻能反映出信道H的很多信息。所以，我們不妨直接拿出幾個實際的H矩陣，對它們進(jìn)行SVD分解，看看分解出的這些“對角陣”中，究竟還隱藏著哪些秘密。我們依舊選擇2x2MIMO信道作為研究對象，為了便于對照，我們選擇3個“極端”的信道矩陣作為分析的例子：最優(yōu)矩陣（單位陣）；隨機(jī)矩陣和最差矩陣（全1陣）。注：這里列舉的信道只為說明其自身矩陣特性，并沒有進(jìn)行歸一化等處理。

    最優(yōu)傳輸矩陣的特性，剛才我們已經(jīng)分析過了，這里為什么要把全一矩陣定義成“最差信道”呢？原因也很簡單，信道矩陣H中的所有元素都一樣，不就說明所有傳輸路徑的增益都相同么，換句話說，所有路徑都經(jīng)歷了完全相同的衰落過程，在上一回“猶抱琵琶半遮面--MIMO信道中隱藏的秘密”中，我們分析過，如果4條傳輸路徑完全相同，可以把它們看成是同一條路徑，2x2MIMO系統(tǒng)將退化成SISO系統(tǒng)，這當(dāng)然是我們最不愿意看到的結(jié)果。
    現(xiàn)在我們分別對這三個信道矩陣進(jìn)行SVD分解，得到的對角陣如下圖：

    （1）對角陣中，奇異值個數(shù)的意義：我們可以清晰看到，“最優(yōu)信道”和“隨機(jī)信道”分解出的對角陣S1和S2都有兩個非零元素，即信道H的奇異值。而“最差信道”分解出的對角陣S3中只有1個奇異值，這代表什么呢？我們來深入的研究下這種情況：現(xiàn)在，如果在發(fā)送端同時發(fā)出兩個信號X1和X2，實際上只有一個信號能夠通過子信道，另一個卻“消失”了，這就說明這種信道只能保證一個信號的收發(fā)，換句話說，它的“自由度”只有1。

    且慢，你在第一回“魚與熊掌能否兼得--淺談分集與復(fù)用的權(quán)衡”中不是說過，2x2MIMO系統(tǒng)能夠?qū)懗鰞蓚€傳輸方程，所以支持的“自由度”應(yīng)該是2么？沒錯，不過讓我們先來看看，“最差信道”寫出的兩個傳輸方程是什么樣的。仍舊假設(shè)發(fā)送端發(fā)出信號X1和X2，在與全一矩陣相乘后，我們得到了兩個完全一樣的傳輸方程，這不就相當(dāng)于只有一個方程么！我們也不可能從一個方程中解出兩個準(zhǔn)確的X1和X2，所以，盡管2x2 MIMO支持的最大“自由度”是2，“最差信道”能提供的“自由度”只有1?？磥恚娈愔档膫€數(shù)，直接反應(yīng)了信道所支持的“自由度”數(shù)目。

    我們當(dāng)然要更進(jìn)一步追問，究竟是什么原因造成了“自由度”的退化？罪魁禍?zhǔn)桩?dāng)然是“相關(guān)性”。剛才我們已經(jīng)分析了，“最差信道”中，所有元素都相同，就意味著4條傳輸路徑完全相同，MIMO系統(tǒng)將退化成SISO系統(tǒng)，而SISO系統(tǒng)能提供的“自由度”可不就是1么?！跋嚓P(guān)性”還真是個難纏的家伙。（如何才能降低信號間的相關(guān)性？可以回顧上一回“猶抱琵琶半遮面--MIMO信道中隱藏的秘密”）
    現(xiàn)在我們來總結(jié)一下 “對角陣S”中，奇異值個數(shù)的含義：在對一個信道矩陣進(jìn)行SVD分解后，得到的“對角陣”中，奇異值（非零元素）的個數(shù)就代表該信道能支持的 “自由度”數(shù)目----更專業(yè)一點的說法是，奇異值的個數(shù)，就是該信道矩陣的秩（Rank）。


    閑話2：
    在現(xiàn)實的MIMO通信系統(tǒng)中，發(fā)送端如果能夠知道信道矩陣的秩，對發(fā)送策略的選擇也是大有益處的：當(dāng)信道質(zhì)量好的時候，我們會更多的發(fā)揮“自由度”的優(yōu)勢，使用更多的空間流數(shù)（自由度）進(jìn)行傳輸，以提高通信的速率；但是當(dāng)信道變差以后，就無法再支持多個空間流了，信道秩的指示（RankIndication，RI）可以幫助我們選擇合適的空間流數(shù)進(jìn)行傳輸，以提高通信效率。


    （2）對角陣中，奇異值大小的意義：從圖中我們也能清晰看到，盡管“最優(yōu)信道”和“隨機(jī)信道”分解后得到的對角陣中，都有兩個奇異值，但這兩個奇異值的大小分布卻不相同。那么，奇異值間的大小分布又有什么意義呢？簡單的說，奇異值的大小，衡量的是信道所支持的“自由度”的“健康狀況”，數(shù)值越趨近0，說明該自由度越接近“退化”的邊緣。比如在“最優(yōu)信道”中，兩個奇異值大小相同，意味著信道對兩個自由度的支持都很好，沒有任何差別，這當(dāng)然也是我們最想看到的情況；而在“隨機(jī)信道”中就不同了，一個數(shù)值特別大，一個特別小，換句話說，這個信道支持1個自由度綽綽有余，想支持2個，效果就沒有那么好了。所以，在許多經(jīng)典的MIMO教科書中，都能看到這樣一個參數(shù)：ConditionNumber（條件數(shù)），它定義為“對角陣S”中，最大奇異值比上最小奇異值的結(jié)果，現(xiàn)在我們對它應(yīng)該有了更好的理解：這個比值（條件數(shù)）越接近1，說明信道中各個平行子信道（自由度）的傳輸條件都很好，很平均；比值越大，說明各個子信道的傳輸條件好的好，差的差。

    那么在現(xiàn)實中，如果我們能夠知道奇異值的個數(shù)和大小，不就能夠知道哪些子信道的傳輸條件好，哪些傳輸條件不好了么？我們當(dāng)然希望發(fā)送策略可以多多利用條件好的子信道，盡量少用或不用條件差的子信道。這就像突圍戰(zhàn)中，一定要找到敵人最薄弱的環(huán)節(jié)，集中優(yōu)勢兵力，一舉擊破。在實際的MIMO通信系統(tǒng)中，總的發(fā)送功率有限，與其把功率浪費(fèi)在條件差的信道上，不如通過調(diào)整發(fā)送功率，給條件好的子信道多分配一些功率，給條件差的子信道少分或不分配功率，來實現(xiàn)上述思想。
    這個過程就像給一個杯子中加水，如果杯中的雜物很多，能加入的水就少；若杯中空無一物，能容的水就多。我們不妨把各個子信道的信道條件比作雜物，條件越差，意味著雜物越多，能分配的功率就越少。當(dāng)我們把總量一定的水（功率）倒入這些杯中，可以清晰的看到一條注水線，水的深度就是給這些子信道分配的功率了。這便是大名鼎鼎的“注水算法（water-filling）”！
 
    好了，說了那么多，相信大家也看累了?，F(xiàn)在我們可以回顧并總結(jié)一下，發(fā)送端獲得信道信息后，能夠帶來的好處：
    （1）使用右酉陣V，可以對發(fā)送信號進(jìn)行“預(yù)處理”，將傳輸過程轉(zhuǎn)化成具有“平行子信道”的對角陣形式；
    （2）有了信道矩陣秩的信息（奇異值的個數(shù)），可以靈活的調(diào)整空間流數(shù)（自由度），從而提高通信系統(tǒng)效率；
    （3）知道了奇異值的個數(shù)和大小后，可以使用“注水算法”分配發(fā)送功率，提升系統(tǒng)容量。


    本回中，我們用了很大的篇幅來介紹“信道信息的應(yīng)用”，最后，我們就來簡單的看一下發(fā)送端有哪些方法來獲得這些有用的信道信息的，并結(jié)束全文。
    發(fā)送端獲取信道信息的方式與通信系統(tǒng)所采用的雙工方式有很大關(guān)系。在一個時分復(fù)用（TimeDivision Duplexing，TDD）系統(tǒng)中，顧名思義，這樣的通信系統(tǒng)是通過時間來區(qū)分上下行數(shù)據(jù)的，所以，所有數(shù)據(jù)共享相同的頻率資源。這就相當(dāng)于有一條很窄的路，每次只能允許一輛汽車通過，來往的車輛都通過時間調(diào)度，這個時刻你過，下個時刻輪到我。

      這種情況下，下行車輛如果想知道“路況信息”，直接問問上行開過來的車輛就行了。在TDD的通信系統(tǒng)中，信道信息獲取的方式也類似：只需要對上行數(shù)據(jù)中的參考信號進(jìn)行信道估計，就可以得到下行的信道信息（實際運(yùn)用中，通常還需要“校準(zhǔn)”這一步，以消除上下行射頻（RF）間的誤差）。
    我國自主制定的3G通信協(xié)議TD-SCDMA，和“4G”演進(jìn)版本的TDD-LTE協(xié)議，都屬于這種雙工方式，所以比較容易在發(fā)送端得到信道的信息，因此，那些強(qiáng)烈依賴信道信息的技術(shù)，如智能天線，波束成形等，都是這些協(xié)議中的“亮點”。
    而在FDD（FrequencyDivision Duplexing）系統(tǒng)中，上下行數(shù)據(jù)使用不同的頻段進(jìn)行傳輸，相當(dāng)于各自獨(dú)享一條單行線路。這樣一來，兩條線路上的“狀況”可能大相徑庭，就像你問一個剛從西藏乘飛機(jī)回來的同學(xué)說：“進(jìn)藏公路好不好走？”，他肯定也一頭霧水。所以，在FDD系統(tǒng)中，建立有效的反饋鏈路，就顯得十分重要了。

    閑話3：對于反饋過程來說，它的內(nèi)容不能過大，否則會影響正常的上行數(shù)據(jù)傳輸。但是信道信息哪里是省油的燈，完整且準(zhǔn)確的信道信息的數(shù)據(jù)量龐大，將占用大量的上行資源。因此第一步要做的，就是要減少反饋開銷。我們可以把一些計算放到接收方來做，比如SVD分解，這樣只需要反饋信道信息的一些指示，和右酉陣V的信息就夠了。怎么，還嫌反饋量大，那我們對V進(jìn)行壓縮，量化，再進(jìn)行反饋好了。其實，802.11n及802.11ac中的波束成形技術(shù)就是這么做的，它通過Givens矩陣旋轉(zhuǎn)，把V轉(zhuǎn)化成只和角度有關(guān)的參數(shù)，并只反饋這些角度的量化值，以達(dá)到減少反饋量的目的。不過它們是典型的時分系統(tǒng)，需要在上行時隙中進(jìn)行反饋。不行，反饋量還是有點大，還有沒有別的辦法呢？有！我們可以利用右酉陣V的“矩陣特性”，設(shè)計專門的碼本（Codebook），這就像給“各式各樣的V”進(jìn)行了編號，每次只用向發(fā)送方反饋一個編號索引（Index），發(fā)送方就知道對應(yīng)的矩陣是哪個了。LTE中“基于碼本的預(yù)編碼技術(shù)”就是采用的這種方式，反饋指示就叫“預(yù)編碼矩陣指示”（Precoding Matrix Indication，PMI）。