上一篇我們說到了“碼間串?dāng)_”，還留下了一個問題，那就是如何在不降低信號帶寬的情況下，克服碼間串?dāng)_的影響，順便再獲得點“頻率分集”增益呢？今天我們就來聊聊這些話題。

    來看圖1描述的傳播環(huán)境，假設(shè)從發(fā)送方到接收方一共有三條傳播路徑，信道增益分別為h1，h2和h3。其中路徑2和3分別會對信號延時1個和2個時刻。即，在第一時刻，接收方會收到經(jīng)過直視徑到達(dá)的信號X1（不考慮噪聲） ：

    第二時刻，接收方收到來自直視徑的X2和經(jīng)反射徑1延時到達(dá)的X1：

    可以看到，碼間串?dāng)_已經(jīng)發(fā)生。同理，在第三時刻，接收方收到的信號是

    以此類推。熟悉“信號系統(tǒng)”的朋友一眼就看出來了，這其實就是輸入序列X=[X1，X2，X3…]與信道響應(yīng)h=【h1  h2  h3 】做了一個卷積，Y = h * X。所以卷積是描述多徑傳播最漂亮的數(shù)學(xué)表達(dá)。但是卷積的表達(dá)式仍然太繁瑣，我們不妨來做一個轉(zhuǎn)換。
    我們把上面描述的傳播環(huán)境想象成一個3發(fā)1收的MISO系統(tǒng)，那么，上述3條多徑信道響應(yīng)【h1  h2  h3 】就可以看成從3根發(fā)送天線分別到接收天線間的直視信道響應(yīng)，如圖2所示。我們設(shè)計以下的發(fā)送策略：第一時刻，從天線1發(fā)送符號X1，這時，接收端收到的就是：

    第二時刻，從天線2發(fā)送X1，從天線1發(fā)送X2，接收信號是：

    第三時刻，從天線3發(fā)送X1，天線2發(fā)送X2，天線1發(fā)送X3，我們有：

    以此類推。很明顯，這與卷積的表達(dá)式一模一樣?，F(xiàn)在我們把具有碼間串?dāng)_的多徑傳播環(huán)境轉(zhuǎn)換成了熟悉的多天線MISO系統(tǒng)，形式上比較好理解，更重要的是，我們可以使用多天線的技術(shù)來處理碼間串?dāng)_了。

 

    在著手“干掉”碼間串?dāng)_之前，我們先來看一個有趣的例子，幫助我們直觀的理解消除碼間串?dāng)_時，所采用的思想。
    正月十五，筆者和爸爸媽媽去看燈展。這次燈展，有三盞最漂亮的大花燈并排放在最顯眼的展臺上。筆者很想去展臺上和三盞燈合影，但參觀的人實在是太多了，管理員不得不做出以下規(guī)定：所有人排成一排，按順序從入口上展臺，每盞燈前面只能站一人，照完相后，從出口依次離開，每出去一人，就進(jìn)來一人。
    于是，筆者就去排隊了，爸爸媽媽在臺下給筆者照相。當(dāng)某一時刻，筆者走上展臺，站在第一盞燈前的時候，其他燈前的游客還沒有離開，筆者和三盞燈的合影就有了別人在旁邊“搶鏡”。同樣，在后面兩個時刻，有人出就有人進(jìn)，筆者始終無法單獨和三盞燈來一次完美的合影，甚是郁悶。

圖3 筆者受到其他人干擾，無法和三盞燈合影

    當(dāng)然，這點小事難不倒筆者，我想，既然沒有辦法單獨和三盞燈合影，那么與其身邊站著其他人，不如和自己人一起照。于是筆者把相機(jī)交給好心人，拉著爸爸媽媽一起去排隊了。這一次，雖然剛上展臺的時候，有游客干擾，但是總有一個時刻，展臺上只有筆者和爸爸媽媽三人，我們開開心心的來了一張合影。
    此時筆者玩心大發(fā)，一張合影還不滿足，筆者想分別站在三盞燈下，和爸爸媽媽來三張合影。于是筆者拉著爸爸媽媽又一次去排隊了。這次，當(dāng)筆者站在第3盞燈下和爸爸媽媽完成第一張合影后，迅速從出口跑出，繞回入口，緊跟著媽媽再次登上展臺（可愛的管理員也不忍心阻止筆者的行動），這樣，筆者就在第一盞燈下，又來了一張合影；緊接著，筆者的爸爸也迅速繞回入口，跟在筆者后面再次上了展臺，就這樣，我們完成了分別在三盞燈下合影三次的愿望。

    看完上面的例子，大家是不是已經(jīng)被筆者“繞”暈了？呵呵，沒關(guān)系，我們只要知道筆者是如何“擠”掉其他人，讓臺上只有我們?nèi)?，并且如何通過“循環(huán)”入場，獲得三次合影機(jī)會的，就可以了。因為無線通信中，“干掉”碼間串?dāng)_，用的也是這兩招：
    （1）把連續(xù)多個符號看成一組，一起進(jìn)行處理，“擠”開碼間串?dāng)_。這樣碼間串?dāng)_就只會發(fā)生在開頭和最后的幾個符號上，中間的都是“自己人”，不受影響。
    （2）通過在這一組符號的開頭或最后設(shè)置“循環(huán)前綴”，干掉碼間串?dāng)_。
    我們把這兩招用數(shù)學(xué)語言，重新進(jìn)行描述。仍然考慮開篇的傳播環(huán)境，這次我們把X1，X2，X3看成一組，并在前面加上“循環(huán)前綴”X2，X3，形成【X2，X3，X1，X2，X3 】。然后與信道響應(yīng)【h1 h2  h3】進(jìn)行卷積，過程如下：

    我們一共能得到7個時刻的方程，但最后兩個說的是本組符號對下一組符號造成的干擾，那就留給下一組符號去解決吧。我們只看前5個時刻。很明顯，碼間串?dāng)_發(fā)生在前兩個時刻Y1，Y2（信道矩陣中0元素的位置就是干擾符號出現(xiàn)的位置，因為我們沒有把干擾符號寫進(jìn)方程，所以該位置是0）。沒關(guān)系，受到干擾的符號我們刪掉，不要了。剩下三個時刻的方程，我們仔細(xì)一看，這不就是一個3發(fā)3收的MIMO傳輸方程么？我們曾經(jīng)把多徑傳播環(huán)境轉(zhuǎn)換成了MISO系統(tǒng)，現(xiàn)在又轉(zhuǎn)換成了MIMO系統(tǒng)！

    說到MIMO系統(tǒng)，我們太熟悉了，至少，我們也花了三大篇文章詳細(xì)的解釋過了。還記得“知己知彼，百戰(zhàn)不殆--信道信息的獲取和應(yīng)用”中我們介紹的內(nèi)容么？MIMO系統(tǒng)的最佳傳輸矩陣是什么？沒錯，是對角陣。怎樣才能獲得對角陣呢？對信道矩陣H進(jìn)行SVD分解，得到H=U·S·V，其中S就是對角矩陣；接下來，就是用V的共軛轉(zhuǎn)置V*對發(fā)送信號進(jìn)行“預(yù)編碼”，接收端在收到數(shù)據(jù)后，同樣乘以U*，這樣一來，發(fā)送的符號就像進(jìn)入了獨立平行的正交子信道，互不干擾。（對這部分內(nèi)容不熟悉的朋友可以在本論壇內(nèi)找到“知己知彼，百戰(zhàn)不殆--信道信息的獲取和應(yīng)用”。）

    現(xiàn)在我們拿到了一個等效的3x3 MIMO傳輸系統(tǒng)，當(dāng)然也可以按照上述過程來處理它。于是，我們對信道矩陣H進(jìn)行SVD分解----此時此刻，本文最大的懸念就要揭曉了----注意矩陣H的特殊結(jié)構(gòu)，因為我們對發(fā)送數(shù)據(jù)添加了循環(huán)前綴，所以H的每一行就有一個“循環(huán)位移”，擁有這種“循環(huán)位移”結(jié)構(gòu)的矩陣叫做“循環(huán)矩陣（Circulant Matrix）”。循環(huán)矩陣的一個重要特性就是：對它進(jìn)行SVD分解后，得到的左酉陣U是“逆傅里葉變換矩陣”（我們用W-1來表示，即U = W-1）；而右酉陣V是“傅里葉變換矩陣”（V = W，注：一組數(shù)據(jù)乘以“傅里葉變換矩陣”，就相當(dāng)于對該組數(shù)據(jù)進(jìn)行了傅里葉變換，并且有W-1W= WW-1=I）！

    這就是說，如果我們對一組數(shù)據(jù)先進(jìn)行 “逆傅里葉變換”，添加“循環(huán)前綴”，再送入多徑信道；接收端刪除掉受干擾的“循環(huán)前綴”后，做一個“傅里葉變換”，得到的數(shù)據(jù)就好像經(jīng)過了獨立平行的正交子信道，彼此之間不受任何干擾。而整個這一套處理流程，不正是“OFDM”么？呵呵，我們一整篇文章好像都在說MIMO，直到最后時刻才讓OFDM出場，OFDM同學(xué)一定等急了吧？
    我們來梳理一下OFDM的處理流程：首先，對一組發(fā)送符號進(jìn)行“逆傅里葉變換”--相當(dāng)于MIMO系統(tǒng)中的“預(yù)編碼”；然后，添加“循環(huán)前綴”--為的是讓傳輸矩陣H變成“循環(huán)矩陣”，最后送入多徑信道；接收端舍棄受到干擾的“循環(huán)前綴”--碼間串?dāng)_就這樣被干掉了；再做一個“傅里葉變換”--相當(dāng)于MIMO中對接收信號乘以U*；得到的符號就像經(jīng)過了互不干擾的正交子信道。

    通過這樣的類比，我們猛然發(fā)現(xiàn)，“原來OFDM其實也是MIMO啊”。兩者的區(qū)別在于：MIMO中，對信道H進(jìn)行SVD分解，需要知道H具體內(nèi)容；而在OFDM中，預(yù)編碼矩陣（即“逆傅里葉變換矩陣”）不依賴于H。筆者本來想把這句話寫在文章的開頭，害怕被拍磚，最后決定還是放在后面吧。不過讀到這里，相信大家也跟筆者有了同樣的感受了吧？至少，我們從另一個角度詮釋了OFDM的意義。
    順便一提，在“燈展”的例子中，筆者實現(xiàn)了在三盞燈下分別合影的愿望，而在OFDM系統(tǒng)中，每個發(fā)送符號都和h1 h2 h3相乘過，就是說，我們還獲得了一定的“頻率分集增益”哦。
    既然OFDM 與MIMO有如此深的淵源，而且本回中，并未介紹OFDM相關(guān)參數(shù)的含義，比如OFDM符號長度，子載波間距等。下一回，我們就來看看OFDM與MIMO聯(lián)合使用時，會有什么效果？如果我們要設(shè)計一個OFDM系統(tǒng)，它的參數(shù)應(yīng)該怎么選取呢？


    閑話：OFDM是“多載波”技術(shù)的一種，在單載波系統(tǒng)中，如果要消除碼間串?dāng)_，就要用到著名的“維特比算法”。關(guān)于算法的具體步驟，本文不再贅述。在計算機(jī)和互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)域，維特比算法有著更廣泛的應(yīng)用，比如“語音識別”，“中文輸入法”等。對互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)感興趣的朋友也可以閱讀吳軍老師的“數(shù)學(xué)之美”。